ÖZDEŞLİKLER ve ÇARPANLARA AYIRMA

ÖZDEŞLİKLER ve ÇARPANLARA AYIRMA ( I )


Tanım : Sabit olmayan, birden fazla polinom un çarpımı biçimin
de yazılamayan polinomlara indirgenemeyen polinomlar denir.
Baş katsayısı bir olan indirgenemeyen polinomlar
Asal polinomlar denir.


* P(x) = x2 + 4 , Q(x) = 3x2 + 1, R(x) = 2x – 3 , T(x) = - x + 7
Polinomları indirgenemeyen polinomlar dır.

P(x) = x2 + 4 baş katsayısı 1 olduğundan asal polinom dur.


Tanım : İçindeki değişkenlerin alabileceği her değer için doğru
olan eşitliklere özdeşlik denir.

* a) x3 (x2 – 2x) = x5 – 2x4 b) a2 (x + y)2 = a2 x2 + a2 y2 özdeşlik
c) a2 (x +y)2 = a2 x2 + a2 y2 özdeşlik değildir.


ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER



I) Tam Kare Özdeşliği:
a) İki Terim Toplamının Karesi : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b) İki Terim farkının Karesi : (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

İki terim toplamının ve farkının karesi alınırken; birincinin
karesi,birinci ile ikincinin iki katı, ikincinin karesi alınır.

c) Üç Terim Toplamının Karesi:
(a +b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc) şeklindedir.



II) İki Terim Toplamı veya Farkının Küpü :

a) İki Terim Toplamının Küpü : (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
b) İki Terim Farkının Küpü : (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Birinci terimin küpü;( ) birincinin karesi ile ikincinin çarpımının 3 katı, (+) birinci ile ikincinin karesinin çarpımının 3 katı,( ) ikin
cinin küpü biçimindedir. Bu açılımlara Binom Açılımıda denir

Not:. Paskal Üçgeni kullanılarak 4.,5.,6.,...Dereceden iki terimli
lerin özdeşliklerini de yazabiliriz.



III) İki Kare Farkı Özdeşliği: (a + b) (a – b) = a2 – b2

İki terim toplamı ile farkının çarpımı; birincinin karesi ile
ikincinin karesinin farkına eşittir.



IV) xn + yn veya xn - yn biçimindeki polinomların Özdeşliği :

i) İki küp Toplam veya Farkı : a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

ii) a4 + b4 = (a + b) (a3 – a2b + ab2 – b3)
a4 – b4 = (a2 + b2) (a + b) (a – b)

iii) a5 + b5 = (a + b) (a4 – a3b + a2 b2 – ab3 + b4)
a5 – b5 = (a – b) (a4 + a3b + a2 b2 + ab3 + b4)

iv) a6 + b6 = (a + b) (a5 – a4b + a3 b2 – a2b3 + ab4 – b5)
a6 – b6 = (a – b) (a2 + ab + b2) (a+ b) (a2 + ab + b2)

v) a7 + b7 = (a + b) (a6 – a5b + a4b2 – a3b3 + a2b4 – ab5 + b6)
a7 – b7 = (a – b) (a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6)



Özdeşlikleri aşağıdaki şekilleriyle düzenleyerek kullanabiliriz

1) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy

2) x2 + y2 = (x – y)2 + 2xy

3) (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy